Что такое позиционная система счисления и как она работает (7 видео)

Позиционная система счисления — это математическая система, которая позволяет представлять числа с использованием различных позиций. Она является одной из наиболее распространенных и используемых систем счисления во всем мире.

Основная идея позиционной системы счисления заключается в том, что значение каждой цифры в числе зависит от ее позиции. Например, в десятичной системе счисления, которую мы часто используем, каждая цифра представляет определенную степень десятки. Это означает, что каждая цифра в числе имеет определенный вес, который зависит от ее позиции. Например, цифра 5 в числе 562 представляет значения 500, а цифра 2 — значение 20.

Позиционная система счисления позволяет нам представлять числа различной длины и значения, используя всего несколько цифр. Она основана на концепции рекурсии, где каждая цифра имеет вес, равный некоторой степени основания системы счисления, умноженной на значение цифры в этой позиции. Это позволяет нам представлять любое число, используя лишь конечное число цифр.

Содержание

Основные понятия и принципы
Система счисления
Позиционная система счисления
Основания систем счисления
Двоичная система счисления
Восьмеричная система счисления
Шестнадцатеричная система счисления
Представление чисел в позиционной системе счисления
Целые числа
Десятичные дроби
Отрицательные числа
Арифметические операции в позиционной системе счисления
Сложение
Вычитание
Умножение
Деление
Сложение
Вычитание
Умножение
Деление
🔍 Видео

Видео:Двоичная система счисления — самое простое объяснениеСкачать

Основные понятия и принципы

Основное понятие в позиционной системе счисления — это разряд. Количество разрядов в числе определяется максимальной степенью основания системы, в которую может быть возведена цифра. Например, в десятичной системе счисления каждая цифра может принимать значения от 0 до 9 и число имеет 10 разрядов.

Принцип работы позиционной системы счисления заключается в том, что каждая цифра числа умножается на определенную степень основания системы и суммируется. Например, в десятичной системе число 1234 представляется как 1 * 10^3 + 2 * 10^2 + 3 * 10^1 + 4 * 10^0.

Важно отметить, что основание системы счисления определяет количество доступных цифр. В двоичной системе счисления основание равно 2, поэтому каждая цифра может принимать значения 0 или 1. В шестнадцатеричной системе счисления основание равно 16, поэтому помимо цифр от 0 до 9 используются буквы A, B, C, D, E, F для обозначения значений 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно.

Позиционная система счисления широко используется в компьютерных системах, так как естественным образом соответствует двоичной системе счисления, которая основана на двух цифрах 0 и 1.

Система счисления	Основание	Допустимые цифры
Двоичная	2	0, 1
Восьмеричная	8	0-7
Десятичная	10	0-9
Шестнадцатеричная	16	0-9, A-F

Система счисления

В позиционной системе счисления каждая позиция (разряд) числа имеет определенную весовую ценность, которая зависит от основания системы. В наиболее распространенной десятичной системе весовые ценности позиций соответствуют степеням числа 10. Например, число 451 имеет следующее разложение: 4 x 10^2 + 5 x 10^1 + 1 x 10^0.

Позиционная система счисления позволяет записывать числа разной величины с помощью ограниченного набора символов. Так, в десятичной системе используются цифры от 0 до 9, а для представления чисел больше девяти используется принцип «разрядность».

Кроме десятичной, существуют и другие популярные позиционные системы, такие как двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. В двоичной системе весовые ценности позиций соответствуют степеням числа 2, в восьмеричной – степеням числа 8, а в шестнадцатеричной – степеням числа 16.

Позиционная система счисления широко применяется в программировании и компьютерных науках, так как позволяет удобно представлять и обрабатывать числа в двоичной форме.

Позиционная система счисления

Она основана на использовании разных значений позиций в числе, в зависимости от их положения. Например, в десятичной системе счисления каждая позиция в числе имеет разное значение в зависимости от своей позиции, от единиц до десятков, сотен, тысяч и так далее.

То есть, каждая цифра в числе имеет свое значение, которое зависит от ее позиции. Например, цифра 3 в числе 352 означает 3 десятка, а цифра 5 означает 5 сотен.

Позиционная система счисления имеет много преимуществ. Она позволяет репрезентировать числа любой величины и точности, а также выполнять арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление.

Важным аспектом позиционной системы счисления является выбор основания системы. Например, в десятичной системе счисления основание равно 10, в двоичной системе счисления основание равно 2, а в шестнадцатеричной системе счисления основание равно 16.

Позиционная система счисления широко используется в программировании, а также в других областях науки и техники. Понимание этой системы позволяет более эффективно работать с числами и выполнять различные операции над ними.

Видео:СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ для новичковСкачать

Основания систем счисления

Основание системы счисления определяет количество доступных символов или цифр, которые могут использоваться для записи чисел. Наиболее распространены системы счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16.

Двоичная система счисления (основание 2) использует только две цифры — 0 и 1. В этой системе каждая цифра в числе представляет степень числа 2, начиная с 0.

Восьмеричная система счисления (основание 8) использует восемь цифр — от 0 до 7. Каждая цифра в числе представляет степень числа 8, начиная с 0.

Десятичная система счисления (основание 10) – это наиболее распространенная система счисления в повседневной жизни. Она использует десять цифр — от 0 до 9. Каждая цифра в числе представляет степень числа 10, начиная с 0.

Шестнадцатеричная система счисления (основание 16) использует шестнадцать символов для представления чисел от 0 до 15. Она использует цифры от 0 до 9 и символы A, B, C, D, E и F для представления чисел от 10 до 15.

Система счисления	Основание	Доступные цифры
Двоичная	2	0, 1
Восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Шестнадцатеричная	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Знание основ систем счисления помогает понять, как числа представляются и обрабатываются в разных компьютерных системах. Кроме того, они являются основой для изучения математики и программирования.

Двоичная система счисления

Каждая позиция числа в двоичной системе счисления имеет вес, который является степенью числа 2. Например, в числе 1011 каждая позиция имеет следующий вес:

Позиция	Вес
1	2³ = 8
0	2² = 4
1	2¹ = 2
1	2⁰ = 1

Чтобы представить число в двоичной системе счисления, нужно умножить каждую цифру числа на соответствующий вес и сложить результаты. Веса появляются справа налево, начиная с нулевой позиции.

Например, чтобы преобразовать число 1011 в десятичную систему счисления, нужно выполнить следующие вычисления:

1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 11

Таким образом, число 1011 в двоичной системе счисления равно 11 в десятичной системе счисления.

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления, также известная как восьмиричная система, это позиционная система счисления, основанная на числе 8. В данной системе используются 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Каждая цифра имеет свою позицию в числе, которая определяет ее вес при вычислениях.

Восьмеричная система счисления широко применялась в аналоговых вычислениях и информатике в прошлом. Она была популярна до появления двоичной и шестнадцатеричной систем счисления. Сейчас она используется реже, но все же встречается в некоторых областях, таких как программирование, компьютерная архитектура и сетевая техника.

Чтобы представить число в восьмеричной системе, используется точно такой же принцип, как в десятичной системе счисления. Каждая цифра в числе умножается на 8 в соответствии с ее позицией, которая увеличивается влево от младшего бита. Затем все произведения складываются, чтобы получить десятичное представление числа.

Например, число 235 восьмеричной системе равно (2 * 8^2) + (3 * 8^1) + (5 * 8^0) = 157 в десятичной системе.

Кроме того, восьмеричная система может быть использована для представления двоичных чисел. Так как восьмеричная система имеет большую основу, чем двоичная (8 против 2), она может быть использована для сокращения длины двоичного числа. Каждые 3 бита двоичного числа представляются одной цифрой в восьмеричной системе.

Например, число 101010101 в двоичной системе можно представить как 2525 в восьмеричной системе.

Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе каждому числу присваивается значение в зависимости от его положения в числе и используемых символов. Так, каждая цифра или буква имеют свое значение: цифры от 0 до 9 соответствуют значениям от 0 до 9, а буквы A, B, C, D, E, F имеют значения 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно.

Шестнадцатеричная система широко используется в информатике и программировании для представления чисел, особенно в работе с памятью компьютеров и шестнадцатеричными кодами цветов.

Для обозначения чисел в шестнадцатеричной системе счисления используются префиксы 0x или 0X. Например, число 42 будет обозначаться как 0x2A.

Шестнадцатеричная цифра	Десятичное значение
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
A	10
B	11
C	12
D	13
E	14
F	15

Шестнадцатеричные числа используются для более компактного и удобного представления больших чисел и цветовых значений. Они также широко используются в программировании для работы с битами, масками и адресами памяти.

Видео:СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ С НУЛЯ | ОСНОВЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯСкачать

Представление чисел в позиционной системе счисления

Основой позиционной системы счисления является определенная база, которая определяет количество доступных цифр. Наиболее распространены десятичная система счисления, в которой используются 10 цифр от 0 до 9, и двоичная система счисления, в которой используются только две цифры – 0 и 1.

При представлении чисел в позиционной системе каждая позиция числа имеет свой вес, который определен по значению базы возведенной в степень позиции. Например, в десятичной системе счисления вес позиции увеличивается в 10 раз с каждой более правой позицией.

В числе каждая цифра умножается на вес позиции, после чего все эти произведения суммируются.

Например, число 325 в десятичной системе счисления можно представить следующим образом:

3 * 10^2 + 2 * 10^1 + 5 * 10^0

Методом умножения и сложения получим:

300 + 20 + 5 = 325

Точно так же число 101 в двоичной системе счисления может быть представлено следующим образом:

1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0

Что приводит к результату:

4 + 0 + 1 = 5

Позиционная система счисления находит применение во многих областях, включая компьютерную науку, математику и физику. Понимание этой системы счисления важно для работы с числами и в практической жизни.

Целые числа

В позиционной системе счисления целые числа представляются в виде последовательности цифр, где каждая цифра имеет свое значение в зависимости от позиции, которую она занимает.

Например, в десятичной системе счисления цифра «7» в числе «758» имеет значение 7, а цифра «5» имеет значение 50, так как она занимает позицию десятков. Цифра «8» имеет значение 800, так как она занимает позицию сотен.

В дополнительных кодах целые числа представляются в виде последовательности битов, где каждый бит может иметь значение 0 или 1. Первый бит может использоваться для обозначения знака числа — 0 для положительного числа и 1 для отрицательного числа.

Например, в двоичной системе счисления число «1010» представляет собой число 10, так как первый бит равен 0, что означает положительное число, и последующие биты представляют позиции единиц, двоек и восьмерок.

Десятичные дроби

Десятичные дроби представляют собой числа, состоящие из целой и десятичной частей, разделенных запятой или точкой. В позиционной системе счисления каждая цифра в числе имеет свое место и умножается на определенную степень основания системы (обычно 10). Десятичные дроби представляют собой повторяющиеся или конечные последовательности цифр после запятой или точки.

Для примера, число 3.14 — это десятичная дробь, где 3 является целой частью, а 14 — десятичной. Для вычисления числа в десятичной дроби, каждая цифра в десятичной части умножается на соответствующую степень десяти (10), начиная с -1 для первой цифры справа.

Десятичные дроби могут быть представлены в виде десятичной дробной дроби (например, 0.25) или как повторяющаяся десятичная дробь (например, 0.333…). Повторяющаяся десятичная дробь обозначается с помощью символа многоточия (троеточия) после последней цифры, повторяющейся бесконечно. Это означает, что после указанной цифры будут повторяться те же цифры в той же последовательности.

Например, число 0.333… равно треть, так как после цифры 3 цифра 3 будет повторяться бесконечно.

Десятичная дробь	Запись
1/2	0.5
1/3	0.333…
1/4	0.25

Важно отметить, что в некоторых случаях конечные десятичные дроби могут быть представлены точно так же, как и дроби, например 0.25 равно 1/4. Однако, многие десятичные дроби не могут быть представлены точно и могут иметь бесконечное число цифр после запятой или точки.

Отрицательные числа

В позиционной системе счисления существует способ представления отрицательных чисел. Обычно отрицательные числа обозначаются с помощью знака минус (-) перед числом. Например, число -5 означает, что мы имеем дело с отрицательным числом пять.

Также существует специальная запись для отрицательных чисел, называемая дополнительным кодом. Дополнительный код используется для облегчения арифметических операций с отрицательными числами. В дополнительном коде старший бит числа является знаковым битом, принимающим значение 0 для положительных чисел и 1 для отрицательных чисел.

Для получения дополнительного кода отрицательного числа, берется его абсолютная величина (положительная часть) и инвертируются все биты. Затем к полученному значению прибавляется единица. Например, для числа -5 его дополнительный код будет равен 10011.

Использование дополнительного кода позволяет осуществлять операции сложения и вычитания отрицательных чисел, используя обычные арифметические операции. Например, чтобы сложить числа -5 и -3, мы складываем их дополнительные коды и получаем дополнительный код результата (дополнительного отрицательного числа).

Таким образом, отрицательные числа представлены в позиционной системе счисления с помощью дополнительного кода, что позволяет выполнять арифметические операции с отрицательными числами в удобной форме.

Видео:Позиционные системы счисленияСкачать

Арифметические операции в позиционной системе счисления

В позиционной системе счисления выполнять арифметические операции ничем не отличается от десятичной системы счисления, с которой мы привыкли работать в повседневной жизни. В основе всех операций лежит принцип сложения цифр и переноса, с которым мы знакомы еще со школы.

Основные арифметические операции, которые можно выполнять в позиционной системе счисления, это сложение, вычитание, умножение и деление. Ниже приведены примеры каждой из операций.

Сложение

В сложении двух чисел в позиционной системе счисления сначала складываются соответствующие разряды, начиная с младших. Если сумма больше основания системы счисления, то происходит перенос единицы в следующий разряд. Пример сложения двоичных чисел 1101 и 1011:

1	1	0	1
+	1	0	1
——	——	——	——
1	0	0	0

В результате сложения получаем число 10000 (в двоичной системе счисления), что эквивалентно десятичному числу 16.

Вычитание

Вычитание в позиционной системе счисления выполняется аналогично вычитанию в десятичной системе. Если уменьшаемое меньше вычитаемого, происходит заем из старшего разряда. Пример вычитания двоичных чисел 1101 и 1011:

1	1	0	1
—	1	0	1
——	——	——	——
0	1	0	0

В результате вычитания получаем число 0100 (в двоичной системе счисления), что эквивалентно десятичному числу 4.

Умножение

Умножение в позиционной системе счисления выполняется аналогично умножению в десятичной системе. Каждая цифра одного из чисел умножается на каждую цифру второго числа, а затем полученные произведения складываются. Пример умножения двух восьмеричных чисел 53 и 47:

	5	3
x	4	7
——	——	——
	3	5
+	2	1	0
——	——	——
1	2	2	1

В результате умножения получаем число 1221 (в восьмеричной системе счисления), что эквивалентно десятичному числу 657.

Деление

Деление в позиционной системе счисления выполняется аналогично делению в десятичной системе. Процесс деления продолжается до тех пор, пока число делитель не станет больше частного или пока не достигнется требуемая точность. Пример деления восьмеричных чисел 657 на 53:

	1	2	2	1
/	5	3
——	——	——	——	——
	1	1	1
+	0	1	4
——	——	——	——	——
	1	2	2

В результате деления получаем частное равное 122 (в восьмеричной системе счисления).

Таким образом, арифметические операции в позиционной системе счисления выполняются аналогично выполнению этих операций в десятичной системе счисления. Основной принцип заключается в сложении цифр и переносе единицы при необходимости. Зная основание системы счисления и пользуясь этими принципами, можно легко выполнять арифметические операции в любой позиционной системе счисления.

Сложение

В позиционной системе счисления сложение работает по следующему принципу: каждая цифра числа складывается с соответствующей цифрой второго числа, начиная с младших разрядов и двигаясь к старшим разрядам. Если сумма цифр превышает основание системы счисления, то в текущий разряд записывается остаток от деления суммы на основание, а единица переносится на следующий разряд.

Пример сложения в позиционной системе счисления:

11 (в двоичной системе) + 10 (в двоичной системе) = 101 (в двоичной системе)
23 (в восьмеричной системе) + 7 (в восьмеричной системе) = 30 (в восьмеричной системе)
9 (в десятичной системе) + 6 (в десятичной системе) = 15 (в десятичной системе)

Важно отметить, что сложение в позиционной системе счисления работает аналогично сложению в десятичной системе, но с другими числами и основанием системы.

Вычитание

Вычитание в позиционной системе счисления осуществляется по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

Для вычитания двух чисел в позиционной системе счисления нужно вычесть соответствующие разряды чисел, начиная с самого младшего разряда. Если результат вычитания отрицателен, то нужно занять единицу у более старшего разряда.

Пример:

Вычитаемое: 523
Уменьшаемое: 267

1. Вычитаем из 3 — 7, получаем -4. Занимаем единицу у разряда 10¹ (десятки).

2. Вычитаем из 2 — 6, у которого уже занята единица, получаем -4. Занимаем единицу у разряда 10² (сотни).

3. Вычитаем из 5 — 2, получаем 3.

Итог: 523 — 267 = 356

Таким образом, вычитание в позиционной системе счисления происходит последовательно от младших разрядов к старшим разрядам, с занятием единицы при необходимости. Это позволяет проводить арифметические операции с числами, записанными в любой позиционной системе счисления.

Умножение

Умножение в позиционной системе счисления происходит аналогично умножению в десятичной системе счисления. Основное отличие заключается в том, что каждая цифра перемножается не только на одно число, а на все числа в степени основания системы.

Представим, что у нас есть две числа: A и B, которые записаны в позиционной системе счисления. Для умножения этих чисел нужно перемножить каждую цифру числа A с каждой цифрой числа B и сложить результаты с учетом их позиции.

Процесс умножения начинается с умножения последней цифры числа A на каждую цифру числа B. Результаты записываются друг под другом с учетом их позиции. Затем происходит сдвиг влево и умножение второй цифры числа A на каждую цифру числа B. Результаты снова записываются под результатами предыдущего шага. Этот процесс повторяется для всех цифр числа A.

В конце происходит сложение всех полученных результатов с учетом их позиции. Если какая-то позиция имеет больше одной цифры, то она разбивается на отдельные разряды числа. Результатом будет число, записанное в позиционной системе счисления.

Деление

Позиционная система счисления позволяет выполнять различные арифметические операции, включая деление. Деление в позиционной системе счисления осуществляется по тем же правилам, что и в десятичной системе.

Для выполнения деления в позиционной системе счисления необходимы два числа: делимое и делитель. Делимое представляется в виде последовательности цифр, которые имеют определенное место по значимости. Также важно знать, что делитель может быть как однозначным числом, так и многозначным числом.

Процесс деления в позиционной системе счисления происходит следующим образом:

Находим наибольшую цифру из делителя, которая может быть вычтена из текущей цифры делимого без получения отрицательного результата.
Вычитаем эту цифру из текущей цифры делимого и записываем ее в строку частного.
Сдвигаемся на следующую позицию делимого и повторяем шаги 1 и 2, пока не достигнем конца делимого.
Если остаток от деления существует, он записывается после символа дроби.

Например, предположим, что у нас есть число 110 (делимое) и число 10 (делитель). Выполним деление:

110 : 10 = 11 (частное) и 0 (остаток)

Таким образом, результатом деления в позиционной системе будет число 11 с остатком 0.

В позиционной системе счисления десятичный разделитель является знаком дроби. В числах, представленных в позиционной системе счисления, разделитель может стоять на любой позиции, включая первую и последнюю. Это обеспечивает большую гибкость при работе с дробными числами.